Рассмотрим два целых положительных числа $$$x$$$ и $$$y$$$. Пусть они раскладываются на простые множители следующим образом: $$$x = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_c^{k_c}$$$ и $$$y = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \ldots \cdot p_c^{m_c}$$$. Тогда, чтобы $$$x$$$ было кратно $$$y$$$, необходимо и достаточно, чтобы для каждого простого множителя в разложении $$$y$$$ его степень была меньше или равна степени этого множителя в разложении $$$x$$$. Формально, $$$\forall i \in [1, c]$$$ $$$k_i \geq m_i$$$.

Значение $$$f(x)$$$ из условия задачи должно быть кратно каждому числу от $$$1$$$ до $$$x$$$ включительно по определению наименьшего общего кратного. Получается, если в разложении на простые множители $$$f(x) = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_c^{k_c}$$$ и $$$y = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \ldots \cdot p_c^{m_c}$$$, то $$$\forall y \in [1, x]$$$ $$$\forall i \in [1, c]$$$ $$$k_i \geq m_i$$$, иными словами, степень каждого простого числа в разложении $$$f(x)$$$ на простые множители должна быть больше или равна максимальной степени этого простого числа, встречающейся в разложениях чисел от $$$1$$$ до $$$x$$$ (то есть префиксному максимуму степени этого простого числа в разложении чисел от $$$1$$$ до $$$x$$$). Поскольку $$$f(x)$$$ — это наименьшее общее кратное, то мы должны взять минимально возможное $$$k_i$$$ для каждого $$$i$$$, поэтому $$$\forall i \in [1, c]$$$ $$$k_i = m_i$$$.

Теперь рассмотрим ряд $$$f(1), f(2), f(3), \ldots , f(x), \ldots$$$. Заметим, что значения в нём не убывают, так как, как мы уже выяснили, $$$f(x)$$$ зависит от префиксных максимумов степеней простых чисел в разложении, а префиксные максимумы не убывают.

Для начала решим получившуюся подзадачу нашей задачи: есть неубывающая последовательность чисел, нужно быстро находить количество различных чисел на отрезке $$$[l, r]$$$. Для этого нам нужно найти все индексы $$$i$$$ такие, что $$$f(i) > f(i - 1)$$$. Сформируем массив $$$a$$$ такой, что $$$a[i] = 1$$$, если $$$i = 1$$$ или $$$f(i) > f(i - 1)$$$, иначе $$$a[i] = 0$$$ (о том, как сформировать такой массив, будет написано ниже). Иными словами, единицы в массиве $$$a$$$ будут в тех позициях, где $$$f(i)$$$ меняет своё значение по сравнению с предыдущим. Тогда количество различных чисел на отрезке $$$[l, r]$$$ будет равно количеству единиц на отрезке $$$[l, r]$$$ в массиве $$$a$$$ (возможно, $$$+1$$$). Почему так? Пройдёмся слева направо по отрезку $$$[l, r]$$$ в массиве $$$a$$$. Если $$$a[i] = 1$$$, то это новое значение $$$f(i)$$$, добавим $$$1$$$ к ответу. Иначе $$$a[i] = 0$$$, значит, такое значение $$$f(i)$$$ уже встречалось, и в массиве $$$a$$$ где-то ранее была единичка, которую мы уже прибавили к ответу, поэтому ничего делать не нужно. Исключение из этого правила — это позиция $$$a[l]$$$, в которой может быть $$$0$$$, для которого мы не прибавили к ответу единичку (так как она была левее отрезка $$$[l, r]$$$). Поэтому если $$$a[l] = 0$$$, то к количеству различных чисел на отрезке надо прибавить $$$1$$$. Количество единичек в массиве $$$a$$$ на отрезке можно посчитать при помощи префиксных сумм за $$$O(1)$$$ с предподсчётом за $$$O(maxr)$$$ ($$$maxr$$$ в задаче равно $$$10^7$$$). В итоге мы научились быстро (за $$$O(1)$$$) отвечать на запрос количества различных чисел на отрезке $$$[l, r]$$$, имея массив $$$a$$$.

Теперь поговорим о том, как получить вышеупомянутый массив $$$a$$$. Для этого можно воспользоваться решетом Эратосфена. Сначала присвоим $$$a[1] = 1$$$. Затем, когда мы в процессе выполнения алгоритма нашли очередное простое число $$$p$$$, то во внутреннем цикле, когда мы проходимся по всем числам, кратным $$$p$$$, чтобы пометить их как составные, нужно отдельно для каждого числа $$$z$$$, равного $$$p^k$$$, где $$$k$$$ — целое положительное число и $$$k \geq 1$$$, присвоить $$$a[z] = 1$$$. Таким образом, $$$a[i]$$$ станет равно $$$1$$$ в тех индексах $$$i$$$, где увеличивается префиксный максимум степени какого-либо простого числа из разложения на простые множители, а значит, как мы уже выяснили, увеличивается и значение функции $$$f$$$ — такой массив $$$a$$$ нам и нужен! Это всё нужно проделать один раз до ответа на запросы. После этого мы получим массив $$$a$$$, по которому построим массив префиксных сумм и сможем отвечать на запросы за $$$O(1)$$$.

Итого наш алгоритм выполняет решето Эратосфена за $$$O(maxr \cdot \log{\log{maxr}})$$$, формирует массив префиксных сумм за $$$O(maxr)$$$, а затем отвечает на $$$t$$$ запросов по $$$O(1)$$$ на каждый. Итоговая асимптотика получается $$$O(maxr \cdot \log{\log{maxr}} + t)$$$.