Рассмотрим случай, когда $$$n = 1$$$, то есть мы можем двигаться только в пределах одной плитки. Представим поле из $$$H \times W$$$ белых и чёрных клеток в виде неориентированного графа. Вершинами в нём будут белые клетки, а рёбра проведём между соседними клетками. В таком графе выделим компоненты связности. Пусть $$$comp_{r, c}$$$ — номер компоненты связности клетки $$$(r, c)$$$. Для ответа на запрос будет достаточно сравнить $$$comp_{R_1, C_1}$$$ и $$$comp_{R_2, C_2}$$$.

При переходе к $$$n > 1$$$ добавляются переходы между плитками. Пронумеруем плитки слева направо числами от $$$1$$$ до $$$N$$$. Пусть клетка $$$(R_1, C_1)$$$ лежит в плитке $$$G_1$$$, а клетка $$$(R_2, C_2)$$$ — в плитке $$$G_2$$$. Если $$$G_1 > G_2$$$, то ответ «No», так как зазор между плитками можно проходить только в направлении слева направо. Если $$$G_1 = G_2$$$, то в этом случае мы можем двигаться только в пределах одной плитки, и здесь будет достаточно решения из случая $$$n = 1$$$.

Рассмотрим переход через зазор между двумя плитками. Мы попадаем из самого правого столбца одной плитки в самый левый столбец второй плитки. Пусть переход происходит в строке $$$R$$$. Тогда мы попадаем из компоненты связности $$$comp_{R, H - 1}$$$ в компоненту связности $$$comp_{R, 0}$$$, если обе клетки $$$(R, H - 1)$$$ и $$$(R, 0)$$$ — белые. На самом деле, задача свелась к тому, чтобы определить, можно ли ровно за $$$G_2 - G_1$$$ переходов через зазор между двумя плитками попасть из $$$comp_{R_1, C_1}$$$ в $$$comp_{R_2, C_2}$$$.

Построим ориентированный граф, вершинами в котором будут компоненты связности изначального графа, а рёбра проведём в соответствии с переходами через зазор между двумя плитками. В таком графе $$$\mathcal{O}(H)$$$ вершин будут иметь хотя бы одно входящее или исходящее ребро, а рёбер будет не больше $$$H$$$, так как для каждой строки плитки мы проводим максимум одно ребро.

Рассмотрим подробнее, как выглядит этот ориентированный граф. Во-первых, в нём могут быть петли, что равнозначно возможности сколь угодно долго оставаться в одной и той же компоненте связности при переходе между плитками. Во-вторых, подумаем, могут ли в этом графе существовать циклы, не являющиеся петлями. Докажем от противного, что граф ацикличен. Пусть цикл существует. Рассмотрим рёбра, лежащие на этом цикле. Каждому ребру соответствует строка, в которой осуществляется переход между вершинами. Каждой строке соответствуют две компоненты, между которыми проведено ребро. Выпишем сверху вниз номера компонент из самого левого столбца, входящих в цикл, — получим список $$$a_i$$$ длины $$$k$$$. То же самое сделаем для самого правого столбца — получим список $$$b_i$$$ длины $$$k$$$. Множества вершин в этих списках совпадают, так как они образуют цикл, и каждая вершина встречается там лишь единожды. Если для всех $$$1 \leq i \leq k$$$ выполняется $$$a_i = b_i$$$, то вершины цикл не образуют, так как каждое ребро — петля. Иначе существуют такие вершины $$$x$$$ и $$$y$$$, что $$$pos_a(x) < pos_a(y)$$$ и $$$pos_b(x) > pos_b(y)$$$, где $$$pos_a(v)$$$ — позиция вершины $$$v$$$ в списке $$$a$$$ и $$$pos_b(v)$$$ — позиция вершины $$$v$$$ в списке $$$b$$$. В таком случае компоненты, соответствующие вершинам $$$x$$$ и $$$y$$$, обязаны пересечься хотя бы в одной клетке плитки, что противоречит тому, что это две разные компоненты связности.

Таким образом, доказали, что граф является DAG'ом с петлями (DAG — Directed Acyclic Graph  — Ориентированный Ацикличный Граф). В нём нужно узнавать, существует ли путь из одной вершины в другую, проходящий ровно по заданному количеству рёбер. Сначала рассмотрим случай, если в графе отсутствуют петли. Пусть $$$dp[x][z][k]$$$ — существует ли путь из $$$x$$$ в $$$z$$$, проходящий ровно по $$$k$$$ рёбрам. $$$dp[x][z][1] = 1$$$, если существует ребро из $$$x$$$ в $$$z$$$. Для вычисления значений динамики при $$$k > 1$$$ переберём первое ребро на пути из $$$x$$$ в $$$z$$$. Пусть оно ведёт в вершину $$$y$$$. Тогда $$$dp[x][z][k] = 1$$$, если нашёлся хотя бы один $$$y$$$, для которого $$$dp[y][z][k - 1] = 1$$$. Заметим, что перебирать значения $$$k > H$$$ не имеет смысла, так как в графе не больше $$$H$$$ вершин, и он ацикличен. Пересчёт всех состояний динамики можно реализовать при помощи обхода в глубину. Это будет работать за $$$\mathcal{O}(H^3)$$$, так как для фиксированных $$$z$$$ и $$$k$$$ мы перебираем пары $$$(x, y)$$$, каждая из которых соответствует ребру в графе, которых не больше $$$H$$$.

Осталось разобраться, что делать с петлями и каким образом они влияют на ответ. На самом деле, они позволяют пройти часть пути из начальной вершины, потом отходить необходимое количество рёбер по петле и затем добраться до конечной вершины. Пусть $$$inf[x][z]$$$ — существует ли путь из $$$x$$$ в $$$z$$$, проходящий хотя бы по одной вершине, имеющей петлю. Вычисление значений этой динамики можно осуществить при помощи того же обхода в глубину. Пусть путь из $$$x$$$ в $$$z$$$ существует, а $$$d$$$ — минимальное, такое что $$$dp[x][z][d] = 1$$$. Тогда, если $$$inf[x][z] = 1$$$, то из $$$x$$$ в $$$z$$$ существуют пути всех длин, больших либо равных $$$d$$$. Таким образом, при посчитанных значениях $$$dp$$$ и $$$inf$$$ можно отвечать на запрос за $$$\mathcal{O}(1)$$$, и общее время работы программы будет $$$\mathcal{O}(H^3 + Q)$$$.