При известных $$$a$$$, $$$b$$$, $$$c$$$ мы сразу можем определить, какие площади должны получиться при разбиении. Для этого нужно найти исходную площадь многоугольника и разделить её в нужном отношении на три части. Заметим, что из формулы Пика следует, что площадь любого многоугольника с целочисленными координатами вершин на клетчатой бумаге либо целая, либо полуцелая. Поэтому можно удвоить все площади и работать только с целыми числами.

Теперь нужно найти количество возможных разбиений. Мысленно упорядочим площади слева направо при разрезании и скажем, что они должны быть $$$S_a$$$, $$$S_b$$$, $$$S_c$$$. В такой постановке первая диагональ отрезает часть площадью $$$S_a$$$, а вторая — $$$S_c$$$, при этом площадь между диагоналями будет $$$S_b$$$.

Обозначим первую диагональ как $$$(i, j)$$$, а вторую как $$$(k, l)$$$. Будем считать вершины упорядоченными в порядке обхода по часовой стрелке. Тогда многоугольник с вершинами $$$[i, i+1, \dots, j-1, j]$$$ (при этом $$$j$$$ может быть меньше $$$i$$$, если мы перешли через $$$n$$$-ю вершину) будет иметь площадь $$$S_a$$$. Очевидно, что второй многоугольник не взаимодействует с вершинами первого, за исключением, возможно, крайних точек $$${i, j}$$$.

Таким образом, при фиксированной диагонали $$$(i, j)$$$ нам нужно подсчитать количество пар $$$(k, l)$$$ таких, что они отрезают площадь $$$S_c$$$ и лежат на оставшейся части многоугольника (исключая только вершины между $$$i$$$ и $$$j$$$ невключительно). Получаем тривиальное решение за $$$\mathcal{O}(n^4)$$$, при условии что мы можем быстро найти площадь, отсекаемую диагональю. Это легко сделать с помощью формулы Гаусса (формулы шнурования) и префиксных сумм.

Теперь заметим, что для каждого фиксированного $$$i$$$ существует не более одного $$$j$$$ такого, что площадь, отсекаемая диагональю $$$(i, j)$$$, будет равна $$$S_a$$$. Это, например, следует из монотонного увеличения площади по мере удаления вершины $$$j$$$ при использовании формулы Гаусса. Аналогичное утверждение верно и для пар $$$(k, l)$$$ с площадью $$$S_c$$$: для каждого $$$k$$$ существует не более одного подходящего $$$l$$$. Поскольку у нас всего три требуемых значения площади, их все можно предподсчитать для каждой вершины с помощью бинарного поиска или метода двух указателей. Получаем решение за $$$\mathcal{O}(n^2)$$$.

Чтобы улучшить эту оценку, можно заметить, что при переборе пар $$$(i, j)$$$ (где $$$j$$$ вычисляется по $$$i$$$ и требуемой площади за $$$\mathcal{O}(1)$$$) интервал для $$$(k, l)$$$ сдвигается, и всего таких сдвигов не более $$$n$$$. Следовательно, с этим интервалом можно работать как со скользящим окном. Также можно наложить определённые ограничения на все подходящие пары $$$(k, l)$$$ и находить нужное количество для данной диагонали $$$(i, j)$$$ с помощью декартова дерева или ordered set. В итоге можно добиться сложности $$$\mathcal{O}(n \log n)$$$ или даже $$$\mathcal{O}(n)$$$. Стоит также отметить, что нужно аккуратно учитывать повторы при переборе.